PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

PRINCIPALES PUNTOS NOTABLES:

BARICENTRO ( G)

Es el punto de intersección de las medianas de un triángulo.Se le llama también Gravicentro por que es el centro de gravedad de la región triangular.

PROPIEDADES:

• El baricentro está siempre en el interior del triángulo.
• El baricentro divide a cada mediana en 2 partes tales que una mide el doble de la otra.( empezando desde el vértice). 

INCENTRO ( I)

Es el punto de intersección de las bisectrices interiores de un triángulo.

PROPIEDADES

• El incentro siempre está en el interior del triángulo.
• El incentro equidista de los lados del triángulo por lo que es el centro de la circunferencia inscrita.

EXCENTRO (E)
Punto de intersección de las bisectrices exteriores, o una interior y otra exterior.

PROPIEDADES

• El excentro está siempre en el exterior del triángulo.
• Todo triángulo tiene tres excentros uno  relativos a cada lado.
• El excentro es el centro de la circunferencia ex-inscrita.

ORTOCENTRO
Punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.

PROPIEDADES

• El Ortocentro puede tener 3 posiciones, dependiendo de la naturaleza del triángulo:
• En el triángulo acutángulo es un punto interior.
• En el triángulo rectángulo es el vértice del ángulo recto.
• En el triángulo obtusángulo es un punto exterior.

CIRCUNCENTRO
Es el punto de intersección de las mediatrices de un triángulo.

PROPIEDADES
El circuncentro tiene tres posiciones relativas:

• En el triángulo acutángulo es un punto interior.
• En el triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa..
• En el triángulo obtusángulo es un punto exterior.
• El circuncentro equidista de los tres vértices de un triángulo y es el centro de la circunferencia circunscrita.

DEFINICIONES IMPORTANTES:

1. TRIÁNGULO MEDIANO:

Es el triángulo que se forma al unir los puntos medios de los lados de un triángulo.

PROPIEDADES

• El circuncentro del triángulo es el orto centro de su triángulo mediano
• El baricentro de un triángulo es también baricentro de su triángulo mediano.

2. TRIÁNGULO PEDAL U ÓRTICO

Es el triángulo que se forma al unir los pies de las tres alturas de un triángulo.

PROPIEDADES:
• El orto centro de un triángulo acutángulo es el incentro de su triángulo pedal.
• El vértice del ángulo obtuso de un triángulo obtusángulo es el incentro de su triángulo pedal.
•  Los vértices de un triángulo acutángulo son los excentros de su triángulo pedal,en consecuencia un triángulo acutángulo es el triángulo ex-incentral de su triángulo pedal.
• El triángulo rectángulo no tiene triángulo pedal. 
 
OTROS PUNTOS NOTABLES:  

PUNTO DE FEUERBACH Es el punto medio del segmento que une el orto centro con el circuncentro de un triángulo.

PUNTO DE BROCARD:

Es el punto de intersección de las cevianas que forman ángulos congruentes en forma alternada con lo lados del triángulo.


PROPIEDADES

• El punto de Brocard siempre es un punto interior del triángulo.
• Todo triángulo tiene a lo más 2 puntos de brocard.

LA CIRCUNFERENCIA DE EULER

Llamada también circunferencia de los nueve puntos.Es la circunferencia que pasa por los puntos medios de los lados del triángulo, por los pies de las tres alturas y por los puntos medios de los segmentos que unen cada vértice con el orto centro.

RECTA DE EULER

En todo triángulo, el orto centro, el baricentro y el circuncentro pertenecen a una misma recta llamada recta de Euler.

TEOREMA DE EULER

En todo triángulo la distancia del orto centro al baricentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro.



  
 

 TEOREMA DEL ORTOCENTRO Y CIRCUNCENTRO

En todo triángulo la distancia del orto centro a un vértice es el doble de la distancia del circuncentro al lado opuesto al vértice en mención.

OBSERVACIONES:

• En el triángulo equilátero el orto centro, baricentro, circuncentro e incentro coinciden. Cualquier recta que pase por este punto será recta de Euler. El triángulo equilátero tiene infinitas rectas de Euler.
• En todo triángulo isósceles la recta de Euler contiene además al incentro y un excentro y coincide con la mediatriz de la base.